Question

Considere duas bolas(esferas) de tamanhos diferentes. Se soubermos que o volume da maior é 10 vezes o volume da menor,podemos concluir que a área da superficie da bola maior também é igual a 10 vezes a área da bola menor?Por quê?​

Answer 1

Utilizando as formulas de área e volume da esfera, podemos concluir que não, que a área não é também 10 vezes maior.

Explicação passo-a-passo:

A formulação para o volume de uma esfera é dada por:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Então se uma esfera tem volume 10 vezes maior que essa:

$10V=\frac{4}{3}\pi (Rg)^3$

Onde Rg é o raio da esfera grande,

$10V=\frac{4}{3}\pi (Rg)^3$

$V=\frac{4}{3.10}\pi (Rg)^3$

Igualando este volume, com o primeiro:

$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3.10}\pi (Rg)^3$

$R^3=\frac{1}{10}(Rg)^3$

$10R^3=(Rg)^3$

$Rg=\sqrt[3]{10R^3}=$

$Rg=\sqrt[3]{10}.R=$

Então agora sabemos a relação entre os raios das esfera. vamos para a área total que é dada por:

$A=4\pi R^2$

Esta seria a área para o menor, vamos aver a área do maior agora, usando o raio que encontramos:

$Ag=4\pi (\sqrt[3]{10}.R)^2$

$Ag=(\sqrt[3]{10})^2.4\pi R^2$

Então vemos aqui que a área da esfera grande não chega a ser 10 vezes maior que a área da esfera menor.