Question

Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna de r ohms, então a potência (em watts) no resistor externo é P = (E²R)/(R + r)²
Se E e r forem fixados, mas R variar, qual é o valor mínimo da potência?
Resposta: O valor mínimo da potência é E²/4r e ocorre quando R = r.

Gostaria do procedimento do cálculo

Answer 1

O valor mínimo de potência é E²/4r.

O valor mínimo da potência é quando sua derivada vale zero, então, derivando a função potência através da regra do quociente e regra da cadeia, temos:

dP/dR = (E²(R+r)² - E²R(2(R+r))/((R+r)²)²

dP/dR = (E²(R+r)² - 2E²R(R+r))/(R+r)⁴

Igualando a derivada a zero, temos:

(E²(R+r)² - 2E²R(R+r))/(R+r)⁴ = 0

E²(R+r)² - 2E²R(R+r) = 0

E²(R+r)² = 2E²R(R+r)

(R+r)² = 2R(R+r)

R+r = 2R

R = r

Substituindo R por r na equação, temos que o valor mínimo de potência é:

P = (E²r)/(r+r)²

P = E²r/4r²

P = E²/4r