Question

sabe-se que um grupo com m mulheres e n homens tem-se que:
1- existem 21 diferentes maneiras de se formar uma dupla somente com mulheres
;2- existem 140 deferentes maneiras de se formar um conjunto de tres pessoa, com pelo menos duas mulheres.
Segundo essas condeçoes, quantas pessoas ha no grupo?

Answer 1

 Condição I: mulheres

$C_{m,2}=21\\\\\frac{m!}{(m-2!)2!}=21\\\\\frac{m\cdot(m-1)\cdot(m-2)!}{(m-2!)2\cdot1}=21\\\\m(m-1)=42\\m^2-m-42=0\\(m-7)(m+6)=0\\\boxed{m=7}$


Condição II: 

- duas mulheres,

$C_{m,2}\cdot n=\\\\\frac{7!}{(7-2!)2!}\cdot n=\\\\\frac{7\cdot6\cdot5!}{5!2\cdot1}\cdot n=\boxed{21n}$

- três mulheres,

$C_{m,3}=\\\\\frac{7!}{(7-3!)3!}=\\\\\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!3\cdot2\cdot1}=\boxed{35}$

 Segue,

$21n+35=140\\21n=105\\\boxed{n=5}$


 Logo,

$m+n=7+5\\\boxed{\boxed{m+n=12\;\text{pessoas}}}$