Encontre a forma ponto normal e paramétrica da equação do plano passando por P e tendo normal n:
a) P = (1,-3,2); n = (2,1,1)
Respostas
A equação cartesiana do plano é 2x + y + z = 1 e as paramétricas são (1,-3,2) + t(-1,3,-1) + s(0,3,-3).
A equação cartesiana do plano é da forma ax + by + cz = d, sendo (a,b,c) o vetor normal ao plano.
Como n = (2,1,1) é o vetor normal, então a equação do plano é da forma:
2x + y + z = d.
Para calcularmos o valor de d basta substituir o ponto P = (1,-3,2):
2.1 - 3 + 2 = d
2 - 3 + 2 = d
d = 1.
Portanto, a equação cartesiana do plano é 2x + y + z = 1.
Para a equação paramétrica, precisamos de dois vetores direção.
Como já temos o ponto P = (1,-3,2), vamos pegar mais dois pontos do plano.
O ponto Q = (0,0,1) pertence ao plano.
O ponto R = (1,0,-1) pertence ao plano.
Definindo os vetores PQ e PR:
PQ = (-1,3,-1)
PR = (0,3,-3).
Portanto, as paramétricas do plano são:
{x = 1 - t
{y = -3 + 3t + 3s
{z = 2 - t - 3s.