3. Numa certa cultura a taxa de crescimento das bactérias é proporcional à população presente. Suponha que existiam 1.000 bactérias inicialmente e que a quantidade dobrou em 8 minutos.
a) Qual equação nos dá a quantidade de bactérias em função do tempo?
b) Quanto tempo levará até que haja 1.000.000 de bactérias?
Respostas
O crescimento de bactérias é dada por uma função exponencial do tipo y = k.aˣ, onde k é o valor inicial, a é a taxa de crescimento e x é uma função do tempo do tipo x = t/c, sendo c uma outra constante.
Temos que o número de bactérias dobra a cada 8 minutos, logo, se y(0) = 1000, temos:
1000 = k.a⁰ → k = 1000
Se a população dobra, a constante 'a' deve ser igual a 2, já o expoente de a deve ser valores naturais, (0, 1, 2, 3, ...), ou seja, em 8 minutos a população dobra (multiplicamos o valor inicial por 2), em 16 minutos ela dobra novamente (multiplicamos o valor inicial por 4), e assim por diante. Tem-se:
2000 = 1000.2^(8/c)
2 = 2^(8/c)
1 = 8/c
c = 8
a) A equação que define a quantidade de bactérias em função do tempo é:
y = 1000.2^(t/8)
b) Para chegar a um milhão de bactérias, deve-se passar:
1000000 = 1000.2^(t/8)
1000 = 2^(t/8)
log 1000 = log 2^(t/8)
3 = (t/8)log 2
3 = (t/8).0,3
t = 3.8/0,3
t = 80 minutos