Question

Sabendo que f'''(x) = sen x, f (0) = 1, f'(0)= 0 e f''(0) = -1, determine f utilizando integral indefenida:

Answer 1

Fazendo as integrações indefinidas e as devidas substituições, temos que f(x) = cos(x).

Explicação passo-a-passo:

Então temos:

f'''(x)= sen(x)

Integrando indefinidamente:

f''(x) = -cos(x) + C

Onde C é constante de integração que precisamos determinar. Para determinar a constante, vamos substituir pelo valor de f''(0)=-1:

f''(0) = -cos(0) + C = -1

f''(0) = -1 + C = -1

-1 + C = -1

C = -1 + 1

C = 0

Assim temos que C = 0, e nossa função:

f''(x) = -cos(x)

Integrando indefinidamente de novo:

f'(x) = -sen(x) + C

Outra constante de integração que vamos descobrir da mesma forma, substituindo f'(0)=0:

f'(0) = -sen(0) + C = 0

-sen(0) + C = 0

0 + C = 0

C = 0

Assim temos:

f'(x) = -sen(x)

Integrando indefinidamente mais uma vez:

f(x) = cos(x) + C

Substituindo novamente para encontrar C, f(0)=1:

f(0) = cos(0) + C = 1

cos(0) + C = 1

1 + C = 1

C = 1 - 1

C = 0

Então nossa função é:

f(x) = cos(x)