Question

(UFRJ) Determine o menor inteiro n>1 para o qual (-√3+i)^n,
um número real positivo.
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

z = a + bi  

Posso estar enganado, mas analisando através da fórmula de moivre vejo que a questão fica mais fácil de ver, então segue:  

A = Ângulo  

z^n = | z |^n (cos(nA)) + isen(nA))  

| z | = raiz(3 + 1) = raiz(4) = 2  

arccos(A) = a/|z| = raiz(3)/2  

A = 30  

z^n = 2^n (cos(30º*n)) + isen(30º*n))  

Basta agora você averiguar para qual valor de n o seno se anula para que o termo que contem o i se anule!!!  

Como A = 30º o proximo valor que o sen se anula é 180º logo o que queremos é:  

30n = 180  

n = 180/30  

n = 18/3  

n = 6  

Espero que tenha entendido!!!  

Um grande abraço!!!!

Answer 2

Resposta:

12

Explicação passo-a-passo:

1) passar para a forma trigonométrica: Z = P(cosø + i×senø)

Logo, precisamos descobrir seu argumento (ângulo) e modulo:

》descobrindo o módulo, P:

$p = \sqrt{ { \sqrt{3} }^{2} + {1}^{2} } \\ p = \sqrt{3 +1} \\ p = \sqrt{4 } \\ p = 2$

》descobrindo o argumento:

$tg \alpha = \frac{cateto \: oposto}{cateto \: adjacente} \\ tg \alpha = \frac{b(parte \: imaginaria)}{a(parte \: real)} \\ tg \alpha = \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ > > racionalizando > > \\ tg \alpha = \frac{1}{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{3}$

• seguindo esse princípio, podemos ver que a tangente é referente aos ângulos 30°, 150° 210° e 330°, como a tangente é positiva poderiam ser apenas 30° ou 120°. Por tanto retoma-se à fórmula algébrica e verifica-se seus sinais. Na fórmula

$z = \sqrt{3} + 1$

nós temos o primeiro e segundo termo positivo, logo tanto o seno e cosseno são positivos, estando no primeiro quadrante, então o ângulo só pode ser 30°

2) Passar para a fórmula de potenciação na forma trigonométrica:

$z = {2}^{n} \times ( \cos(30n) + i \sin(30n) )$

Para que ele possa ser real positivo, o cosseno precisa ser maior que 0, e o seno, igual à 0

O ângulo que atende esses requisitos é o 360°,;

OBS: não é 180°, pois o cosseno seria negativo

portanto:

$30 \times n = 360 \\ n = \frac{360}{30} \\ n = 12$