Question

Sendo y = f(x) uma função derivável dada implicitamente por cada

uma das equações abaixo, ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no

ponto P indicado:

a) x² + xy − y² = 1, P = (2,3)

b) xy + 5 = 7x, = (1,2)

Answer 1

Aplicando diferenciações implicítas, temos que nossas reta tangente são dadas por:

a)$y=\frac{7}{4}x+-\frac{1}{2}$

b)$y=5x-3$

Explicação passo-a-passo:

Assim como dito na questão, basta derivarmos implicitamente cada uma das questões abaixo, para obtermos suas derivadas:

A)

$x^2+xy-y^2=1$

Derivando implicitamente:

$2x.dx+dxy+xdy-2y.dy=0$

Isolando dy:

$2x.dx+dxy=-xdy+2y.dy$

$dx(2x+y)=dy(-x+2y)$

Passando dx dividindo:

$dx(2x+y)=dy(-x+2y)$

$\frac{2x+y}{2y-x}=\frac{dy}{dx}$

Substituindo x e y pelos valores do ponto (2,3):

$\frac{2x+y}{2y-x}=\frac{dy}{dx}$

$\frac{2.2+3}{2.3-2}=\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{7}{4}$

E como sabemos que a derivada de y em relação a x é inclinação da reta tangente, então ela tem o formato:

$y=Ax+B$

$y=\frac{7}{4}x+B$

Para descobrirmos B, vamos jogar nossos valores do ponto, novamente na reta (2,3):

$3=\frac{7}{4}2+B$

$3-\frac{7}{2}=B$

$B=-\frac{1}{2}$

Então nossa função da reta tangente é dada por:

$y=\frac{7}{4}x+-\frac{1}{2}$

B)

$xy+5=7x$

Fazendo o mesmo processo:

$dx.y+x.dy=7dx$

Isolando dy e dx:

$x.dy=7dx-dx.y$

$x.dy=dx(7-y)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{7-y}{x}$

Substituindo os valores de x e y pelo ponto (1,2):

$\frac{dy}{dx}=\frac{7-y}{x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{7-2}{1}$

$\frac{dy}{dx}=5$

Então temos o valor do coeficiente angular de nossa reta, assim ficamos com:

$y=Ax+B$

$y=5x+B$

Da mesma forma, para descobrirmos B, basta substituirmos x e y pelos valores do ponto:

$2=5.1+B$

$B=-3$

Então nossa reta tangente é dada por:

$y=5x-3$