Determine o décimo quinto termo da PA (8,14,20...)

Respostas

respondido por: antoniosbarroso2011

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Temos a PA (8, 14, 20, ...), cuja razão r = 14 - 8 = 6 e a₁ = 8 e n = 15. A questão pede o a₁₅, assim:

a₁₅ = a₁ + (15 - 1).r

a₁₅ = 8 + 14.6

a₁₅ = 8 + 84

a₁₅ = 92

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (8, 14, 20,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:8

c)décimo quinto termo (a₁₅): ?

d)número de termos (n): 15 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 15ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do décimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos de crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 14 - 8 ⇒

r = 6 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₅ = 8 + (15 - 1) . (6) ⇒

a₁₅ = 8 + (14) . (6) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₅ = 8 + 84 ⇒

a₁₅ = 92

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo quinto termo da P.A.(8, 14, 20, ...) é 92.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₅ = 92 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

92 = a₁ + (15 - 1) . (6) ⇒

92 = a₁ + (14) . (6) ⇒

92 = a₁ + 84 ⇒ (Passa-se 84 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

92 - 84 = a₁ ⇒

8 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 8 (Provado que a₁₅ = 92.)

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