Question

Calculo I

Prove que se f : I → R é uma função derivável em a ∈ I, com I intervalo
aberto da reta, então f é contínua em a.

Answer 1

Se $f$ é derivável no ponto $a\in\mathcal{I}$, então sabemos que existe o limite:

$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\in\mathbb{R}.$

Para que uma função seja contínua $a$, temos de ter:

$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a) \iff \lim\limits_{x\to a} \left[f(x)-f(a)\right] = 0.$

Dividindo e multiplicando por $x-a$, podemos dividir o limite em dois limites:

$\lim\limits_{x\to a} \left[f(x)-f(a)\right] = \lim\limits_{x\to a} \left[\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\right] =\\\\= \underbrace{\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{=f'(a)} \times\underbrace{\lim\limits_{x\to a} (x-a)}_{=0}=0.$

Assim, fica provado que $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$, ou seja, a função $f$ é contínua em $a$.