Question

Galera, URGENTEEE alguém pode me ajudar? Sobre números complexos. Determine o valor final do número complexo

Z = i^32 + i^45 + i^310 + i^27 + 1 + 2i + 3i^2 + 4i^3 + 5i^4 .

Agradeço desde já​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Z = i³² + i⁴⁵ + i³¹⁰ + i²⁷ + 1 + 2i + 3i² + 4i³ + 5i⁴

Para facilitar, vamos fazer cada termo separadamente.

Sabendo que i² = -1  e  i⁴ = 1, temos:

    i³² → divida o 32 por 4. O resultado é 8. Então:

            i³² = (i⁴)⁸ = (1)⁸ = 1

    i⁴⁵ → divida o 45 por 4. O resultado é 11 e resto 1. Então:

            i⁴⁵ = (i⁴)¹¹. i¹ = (1)¹¹. i = 1 . i = i

    i³¹⁰ → divida o 310 por 4. O resultado é 77 e resto 2. Então:

             i³¹⁰ = (i⁴)⁷⁷. i² = (1)⁷⁷. (-1) = 1 . (-1) = -1

    i²⁷ → divida o 27 por 4. O resultado é 6 e resto 3. Então:

            i²⁷ = (i⁴)⁶. i². i = (1)⁶. (-1) . i = 1 . (-i) = -i

    3i² = 3 . (-1) = -3

    4i³ = 4 . i² . i = 4 . (-1) . i = -4i

    5i⁴ = 5 . 1 = 5

Substituindo, fica:

    Z = 1 + i + (-1) + (-i) + 1 + 2i + (-3) + (-4i) + 5

    Z = 1 + i - 1 - i + 1 + 2i - 3 - 4i + 5

    agrupando os termos semelhantes, fica

    Z = 1 - 1 + 1 - 3 + 5 + i - i + 2i - 4i

    Z = 3 + (1 - 1 + 2 - 4)i

    Z = 3 - 2i