Question

Uma peça cúbica de madeira é dividida em 4 partes iguais por dois cortes planos ACFG e BHED, conforme a
figura a seguir.
Cada uma dessas partes define um prisma triangular.
A razão entre a superfície total de um desses prismas e a superfície total da peça cúbica será:

Answer 1

A razão entre a superfície total de um desses prismas e a superfície total da peça cúbica será:

1 + √2

 4      6

a = medida da aresta do cubo

Como um cubo é formado por 6 quadrado, a superfície total da peça cúbica é:

Sc = 6a²

Agora, temos que calcular a superfície total do prisma triangular.

Precisamos a área da base e da área lateral.

A base tem forma de triângulo, com base igual a aresta do cubo e a altura com metade da aresta do cubo. Logo, área da base é:

Ab = a . a/2

           2

Ab = a²/4

Como são duas bases, fica:

Ab = 2.(a²/4)

Ab = a²/2

Precisamos da medida x.

Por Pitágoras, temos:

x² = (a/2)² + (a/2)²

x² = a²/4 + a²/4

x² = 2a²/4

x = √2a/2

A lateral é formada por 2 retângulos de medidas x e a e por 1 quadrado de medida a. Logo, a área lateral é:

Al = 2 · (a.x) + a.a

Al = 2 · (a.√2a/2) + a²

Al = √2a² + a²

Portanto, a superfície total de um desses prismas é:

Sp = Ab + Al

Sp = a²/2 + √2a² + a²

Sp = a² + 2√2a² + 2a²

                  2

Sp = 3a² + 2√2a²

               2

Por fim, calculamos a razão entre as duas superfícies totais.

         3a² + 2√2a²

Sp =          2            

Sc              6a²

Sp = 3a² + 2√2a² .  1  

Sc             2            6a²

Sp = 3a² + 2√2a²

Sc          12a²

Sp = a².(3 + 2√2)

Sc         12.a²

Sp = 3 + 2√2

Sc        12

Sp = 3 + 2√2

Sc    12       12

Sp = 1 + √2

Sc     4      6