1) Obter a equação da reta tangente e normal ao gráfico das funções:
a) f(x) = (3sen x + cos x)^5 em x = pi
b) f(x) = x^2 em x=5
c) f(x)= x^2 - 5x + 6 em x = 2
Respostas
Resposta:
a) "15X + Y + 1 - 15π = 0" e "X/15 - Y - π/15 - 1 = 0"
b) "10X - Y - 25 = 0" e "X/10 + Y - 25,5 = 0"
c) "X + Y - 2 = 0" e "X - Y - 2 = 0"
Explicação passo-a-passo:
Para obter a equação da reta tangente e da reta normal, segue o passo-a-passo:
Reta Tangente
1º - Encontrar a derivada da função fornecida e substituir, caso existam, as variáveis X e Y pelas coordenadas do ponto fornecido. O resultado disso será o coeficiente angular da reta tangente.
2º - Utilizar o coeficiente angular da reta tangente e as coordenadas do ponto fornecido para encontrar a equação fundamental da reta, a partir da equação: Y - Y0 = M(X - X0)
Reta Normal
Repita os passos utilizados na reta tangente, porém utilize o coeficiente angular da reta normal, que é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente.
Utilizando esses conceitos, temos que:
a) f(x) = (3senx + cosx)^5, em X = π
Como os itens só nos forneceram o X, iremos encontrar o Y ao substituir o X nas equações fornecidas. Então:
f(π) = (3senπ + cosπ)^5
f(π) = (3senπ + cosπ)^5 // π = 180º, sen180º = 0, cos180º = -1
y = (3.0 + -1)^5
y = (-1)^5
y = -1
Então temos, que as coordenadas do ponto são: P(π, -1)
Agora, iremos calcular a derivada da função fornecida para achar o coeficiente da reta tangente:
y = (3senx + cosx)^5
(y)' = [(3senx + cosx)^5]' // Lembre-se da regra da cadeia!!!
y' = 5(3senx + cosx)^4 . (3senx + cosx)'
y' = 5(3senx + cosx)^4 . [(3)'.senx + 3(senx)' + (cosx)']
y' = 5(3senx + cosx)^4 . [3cosx + (-senx)]
y' = 5(3senx + cosx)^4 . (3cosx - senx)
Agora só substituir o x pela coordenada do ponto fornecido
y' = 5(3senπ + cosπ)^4 . (3cosπ - senπ)
y' = 5[3.0 + (-1)]^4 . [3.(-1) - 0]
y' = 5(-1)^4 . (-3)
y' = 5.1.(-3)
y' = -15
Logo, sabendo que o coeficiente angular da reta tangente é igual a derivada da função fornecida, temos que:
Mt = -15
Para obter a equação da reta tangente basta substituir o coeficiente angular da reta tangente (Mt) e as coordenadas do ponto na equação fundamental da reta (Substitua a coordenada X do ponto fornecido no X0, e a coordenada Y do ponto fornecido no Y0):
Y - Y0 = M(X - X0) // P(π, -1), M = Mt
Y - (-1) = -15(X - π)
Y + 1 = -15X + 15π
Ordenando a equação para obter a equação geral da reta, temos:
15X + Y + 1 - 15π = 0 (Equação da reta tangente)
Para achar a equação da reta normal, basta calcular o coeficiente angular da reta normal, que é o oposto e o inverso do coeficiente angular da reta tangente
Mn = -1 / Mt
Mn = - 1 / -15
Mn = 1/15
Agora, basta repetir o processo anterior:
Y - Y0 = M(X - X0) // M = Mn
Y - (-1) = (1/15).(X - π)
Y + 1 = X/15 - π/15
0 = X/15 - π/15 - Y - 1
X/15 - Y - π/15 - 1 = 0 (Equação da reta normal)
Agora que você entendeu o processo, basta repetir o mesmo para os outros itens!
b) f(x) = x^2, em x = 5
f(5) = 5^2
y = 25
Logo, P(5, 25)
y = x^2
(y)' = (x^2)'
y' = 2x
Mt = 2x
Mt = 2.5
Mt = 10
Portanto:
Y - Y0 = M(X - X0)
Y - 25 = 10(X - 5)
Y - 25 = 10X - 50
0 = 10X - 50 - Y + 25
10X - Y - 25 = 0 (Equação da reta tangente)
Mn = -1 / Mt
Mn = -1 / 10
Mn = -1/10
Y - Y0 = M(X - X0)
Y - 25 = (-1/10).(X - 5)
Y - 25 = -X/10 + 5/10
Y - 25 + X/10 - 5/10 = 0
X/10 + Y - 25 - 1/2 = 0
X/10 + Y - 25 - 0,5 = 0
X/10 + Y - 25,5 = 0 (Equação da reta normal)
c) f(x) = x^2 - 5x + 6, em x = 2
f(2) = 2^2 - 5.2 + 6
f(2) = 4 - 10 + 6
y = 0
Logo, P(2,0)
y = x^2 - 5x + 6
(y)' = (x^2 - 5x + 6)'
y' = 2x - [(5)'x + 5(x)'] + 0
y' = 2x - (0x + 5.1) + 0
y' = 2x - 5
Mt = 2x - 5
Mt = 2.2 - 5
Mt = 4 - 5
Mt = -1
Portanto:
Y - Y0 = M(X - X0)
Y - 0 = -1.(X - 2)
Y = -X + 2
Y + X - 2 = 0
X + Y - 2 = 0 (Equação da reta tangente)
Mn = -1 / Mt
Mn = -1 / -1
Mn = 1
Y - Y0 = M(X - X0)
Y - 0 = 1(X - 2)
Y = X - 2
0 = X - 2 - Y
X - Y - 2 = 0 (Equação da reta normal)