Question

Calcule o vetor gradiente da função f(x,y) = y.ln x , no ponto (1,-3) e assinale a alternativa correta.

Answer 1

Fazendo as derivadas parciais de f(x,y) temos que seu gradiente no ponto (1,-3) é dado por:

$\vec{\nabla}f(1,-3)=(-3,0)$

Explicação passo-a-passo:

O vetor Gradiente de uma função potencial f(x,y) é dado por:

$\vec{\nabla}f(x,y)=(\frac{df}{dx},\frac{df}{dy})$

Então vamos derivar esta função em x e y:

$f(x,y)=y.ln(x)$

$\frac{df(x,y)}{dx}=\frac{y}{x}$

$\frac{df(x,y)}{dy}=ln(x)$

Substituindo no gradiente temos:

$\vec{\nabla}f(x,y)=(\frac{y}{x},ln(x))$

Substituindo x e y pelo ponto (1,-3):

$\vec{\nabla}f(1,-3)=(\frac{-3}{1},ln(1))$

$\vec{\nabla}f(1,-3)=(-3,0)$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da superfície aplicado ao ponto "P" é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, -3) = (-3, 0)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja os dados:

               $\Large\begin{cases}s: f(x, y) = y\,\ln\,x\\P = (1, -3)\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Calcular o vetor gradiente da superfície:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = y\cdot\frac{1}{x}\,\vec{i} + \ln\,x\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{y}{x}\,\vec{i} + \ln\,x\,\vec{j}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(x, y) = \frac{y}{x}\,\vec{i} + \ln\,x\,\vec{j}\end{gathered}$

• Determinar o vetor gradiente aplicado ao ponto P:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, -3) = -\frac{3}{1}\,\vec{i} + \ln\,1\,\vec{j}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-3, 0)\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(1, -3) = (-3, 0)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente aplicado ao ponto "P" é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, -3) = (-3, 0)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$