Question

Por meio do produto escalar é possível determinar a classificação do ângulo formado por dois vetores, ou seja, se ele é agudo, obtuso ou ortogonal.

Com base nessa informação, considere os seguintes vetores u = (2, 3, 1) e v = (4, -5, 7) do R³ e avalie as seguintes asserções:

I – O ângulo formado entre os ângulos u e v é ortogonal.

PORQUE

II – O produto escalar entre os vetores u e v é nulo (u • v = 0).

Assinale a alternativa correta:

a)As asserções I e II são proposições falsas.

b)A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.


c)A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

d)As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

e)As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

Answer 1

Resposta:

e)

Explicação passo-a-passo:

Olá!

Primeiramente temos que obter o ângulo entre os vetores. Este ângulo pode ser obtido pela fórmula:

$\theta=\arccos\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}$

Calculando cada uma das partes:

$\vec{u}\cdot\vec{v}=(2,3,1)\cdot(4,5,7)=2.4+3.(-5)+1.7=8-15+7=0$

Agora os módulos:

$\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$

$\|\vec{v}\|=\sqrt{4^2+(-5)^2+7^2}=\sqrt{16+25+49}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$

Facilmente tiramos o ângulo, agora:

$\theta=\arccos\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}\\\theta=\arccos\dfrac{0}{\sqrt{14}\;\sqrt{90}}\\\boxed{\theta=90^{\circ}}$

Espero ter ajudado