Question

(Uerj) a figura ilustra três circunferências, de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos M, N e P.

O comprimento do segmento de reta MN é igual a raiz quadrada de:

a)3,6
b)3,8
c)4,2
d)4,4
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Answer 1

O comprimento do segmento de reta MN é igual a raiz quadrada de 3,6.

Analisando o triângulo ABC, temos um triângulo retângulo de catetos iguais a BC e AB e hipotenusa AC.

BC = 2 + 1 = 3

AB = 3 = 1 = 4

AC = 3 + 2 = 5

Utilizando as propriedades trigonométricas em um triângulo retângulo, teremos  que o cosseno ângulo BÂC equivale a -

CosBÂC = cateto adjacente/hipotenusa

CosBÂC = 4/5

Pela Lei dos Cossenos sabemos que -

MN² = AM² + AN² - 2. (AM)(AN)CosBAC

MN² = 3² + 3² - 2(3)(3)4/5

MN² = 9 + 9 - 14,4

MN² = 3,6

MN = √3,6

Answer 2

O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz quadrada de:

a) 3,6

Explicação:

Conforme o enunciado informa as medidas dos raios, temos:

BM = BP = 1

BM = BP = 1CP = CN = 2

BM = BP = 1CP = CN = 2AM = AN = 3

Traçando o segmento de reta MN, forma-se o triângulo AMN.

O ângulo oposto ao lado MN mede θ.

Para descobrir a medida MN, basta utilizar a lei dos cossenos:

MN² = AM² + AN² - 2·AM·AN·cos θ

Considerando o triângulo retângulo ABC, temos:

cos θ = cateto adjacente

                 hipotenusa

cos θ = AB

            AC

cos θ = 3 + 1

            3 + 2

cos θ = 4

            5

Voltando para a fórmula da lei dos cossenos:

MN² = AM² + AN² - 2·AM·AN·cos θ

MN² = 3² + 3² - 2·3·3·4/5

MN² = 9 + 9 - 72/5

MN² = 18 - 14,4

MN² = 3,6

MN = ±√3,6

Como é uma medida de comprimento, só pode ser um valor positivo. Logo: MN = √3,6.

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