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Explicação passo-a-passo:Múltiplos de números Naturais
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:
a = k × b
Exemplos:
(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.
(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.
(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.
(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.
Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:
35=7×5
Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:
0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2
O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por exemplo:
M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }
M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }
Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:
0=0×2, 0=0×5, 0=0×12, 0=0×15
Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.
a = 1 × b se, e somente se, a = b
Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.
Divisores de números Naturais
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.
Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.
Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.
Os divisores de um número y formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).
Exemplos:
(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}
(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}
(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}
Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e além disso, zero não divide qualquer número natural, exceto ele próprio.
Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:
6 = 0 x b
mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.
A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:
Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:
0 ÷ 0 = X ÷ 1
Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:
0 × 1 = 0 × X = 0
que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.
Números primos
Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.
Exemplos:
(a) 1 não é primo pois D(1)={1}
(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}
(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}
(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}
(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}
(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}
Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.
Crivo de Eratóstenes
É um processo para obter números primos menores do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.
Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.
Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.
Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.
Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.
Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.
Os números que não foram eliminados são os números primos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor mais forte os números primos e com a cor clara os números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.
No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.
P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}