Question

Duas partículas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos Ox e Oy. A função de posição de P é x=√t e a de Q é y=t^2-3/4, t > 0. Determine o instante em que a distância entre P e Q seja a menor possível.

Answer 1

As duas partículas terão a menor distância possível entre elas quando t = 0,5 s.

A distância entre o ponto P (que está sobre o eixo Ox) e o ponto Q (que está se movendo sobre o eixo Oy) é a hipotenusa do triângulo formado pela origem do sistema xOy, o ponto P e o ponto Q.

A distância do primeiro cateto (no eixo x) é a distância entre o ponto P e a origem. Logo:

$d_P = x_p - 0 = \sqrt{t}$

Já a distância do segundo cateto será a distância entre Q e a origem:

$d_Q = y_Q - 0 = t^2 - \frac{3}{4}$

Portanto, a distância entre as partículas será:

$D = d_{PQ} = \sqrt{d_P^2 + d_Q^2} = \sqrt{t + t^4 - 3t^2/2 + 9/16} = \sqrt{t^4 - 3t^2/2 + t + 9/16}$

, com t > 0.

Para trabalharmos com a distância mínima entre as partículas devemos calcular a derivada da distância:

$\frac{d}{dt}(D) = \frac{d}{dt}(\sqrt{t^4 - 3t^2/2 + t + 9/16}) = 4t^3 - 3t + 1$

Agora devemos igualar a derivada a zero, ou seja, o ponto de mínimo valor:

$\frac{d}{dt}(D) = 0\\\\4t^3 - 3t + 1 = 0\\\\t' = -1\\t'' = 1/2$

Logo t = 1/2 s = 0,5 s. Vale ressaltar que utiliza-se a regra da cadeia para encontrar a derivada da distância D.

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