Question

Suponha que o móvel se mova do ponto inicial P O=(0,0,3), correspondendo a t_0=0 ao ponto P_1, correspondendo a t=t_1,
ao longo de uma curva no espaço de equações x=3sen(t) y=4t e z=3cos(t), na direção positiva. Sabendo que o comprimento
de arco sobre a curva de P_0 a P_1 mede 5 unidades e considerando a equação de comprimento de arco, assinale a
alternativa que indica as coordenadas do ponto p1​

Answer 1

Utilizando integral de arcos temos que t =1 , substituindo na parametrização temos que o ponto x,y,z é (3sen(1),4,3cos(1)).

Explicação passo-a-passo:

Então temos a nossa parametrização:

$x=3sen(t)$

$y=4t$

$z=3cos(t)$

Quando t=0, temos que (x,y,z)=(0,0,3), que é nosso ponto P0.

Agora sabemos que a integral de arco é dada por:

$A=\int\limits^a_b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2}dt$

Então tirando as diferenciasi de cada coordenada:

$\frac{dx}{dt}=3cos(t)$

$\frac{dy}{dt}=4$

$\frac{dz}{dt}=-3sen(t)$

Colocando estas equações na integral de 0 (Po) até t:

$A=\int\limits^0_t \sqrt{9cos^2(t)+16+9sen^2(t)}dt$

$A=\int\limits^0_t \sqrt{16+9(cos^2(t)+sen^2(t))}dt$

$A=\int\limits^0_t \sqrt{16+9}dt$

$A=\int\limits^0_t \sqrt{25}dt$

$A=\int\limits^0_t 5dt$

$A=5\int\limits^0_t dt$

$A=5[t]\limits^0_t$

$A=5t$

Se o arco vale 5, então:

$5=5t$

$t=1$

Se t =1 , substituindo na parametrização temos que o ponto x,y,z é (3sen(1),4,3cos(1)).

Answer 2

Resposta:

A resposta correta é; --->   P_1=(3sen(1),4,3cos(1)).