Question

18. (UEL-PR) O óxido de potássio, KO, é um nutriente
usado para melhorar a produção em lavouras de cana-
-de-açúcar. Em determinada região, foram testatas tres
dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação
entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se
deu conforme mostra a tabela a seguir.
70
140
5
Dose do nutriente (kg/hectare)
Produção de cana-de-açúcar
(toneladas/hectare)
42
55
61
Considerando que a produção de cana-de-açúcar por
hectare em função da dose de nutriente pode ser descri-
ta por uma função do tipo y = ax + bx + c, determine
a quantidade de nutriente por bectare que maximiza a
produção de cana-de-açúcar por hectare.
Apresente os cálculos realizados na resolução da
questão.​

Answer 1

A quantidade de nutriente que maximiza a  produção de cana-de-açúcar é de 50,33 kg/hectare.

Para saber o valor que maximiza a produção, devemos conhecer a equação que determina tal produção. Na tabela, temos 3 valores de y e 3 valores de x, com isso, podemos montar um sistema linear:

70 = a.42² + b.42 + c

140 = a.55² + b.55 + c

5 = a.61² + b.61 + c

Resolvendo o sistema pelo método de Gauss, encontramos:

a =  -725/494

b = 72985/494

c = -875945/247

A equação é dada por:

y = -725x²/494 + 72985x/494 - 875945/247

O valor de nutrientes que maximiza a produção está no vértice de coordenada x igual a:

xv = -b/2a

Logo, temos:

xv = -(72985/494)/2(-725/494)

xv = 50,33 kg/hectare