Respostas
Temos x³ - 7x² + 6x = 0
Como se trata de um polinômio de grau 3, podemos afirmar que essa equação possui três raízes.
Precisamos encontrar pelo menos uma das raízes chutando valores. Assim, será possível encontrar as outras raízes.
Os valores que chutamos são os mais fáceis, tais como 0, 1 ou -1.
Nesse caso, como não há termo independente, podemos concluir rapidamente que 0 é uma das raízes:
0³ + 7.0² + 6.0 = 0
0 = 0
(Como a igualdade se mostrou verdadeira, x = 0 é raiz.)
Agora, podemos aplicar as relações de Girard para descobrir as raízes restantes. Sejam x1, x2 e x3 as raízes. Temos:
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1 + x2 + x3 = -(-7)/1 = 7
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 6/1 = 6
Já sabemos uma das raízes, que é x1 = 0. Logo:
x1 + x2 + x3 = 7
0 + x2 + x3 = 7
x2 + x3 = 7 (I)
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 6
0.x2 + 0.x3 + x2x3 = 6
x2x3 = 6 (II)
Temos um sistema com duas equações.
Na equação (I), podemos isolar x2:
x2 + x3 = 7
x2 = 7 - x3
Substituindo esse valor de x2 na equação (II):
x2x3 = 6
(7 - x3)x3 = 6
7.x3 - (x3)² = 6
-(x3)² + 7.(x3) - 6 = 0
Agora, temos uma equação de segundo grau. Resolvendo ela, encontraremos:
x3 = 1 ou x3 = 6
Logo, as três raízes da equação x³ - 7x² + 6x = 0 são:
x1 = 0
x2 = 1
x3 = 6
x³ -7x² +6x = 0
x (x²- 7x +6) = 0
x ( x -1) ( x -6) = 0
x=0, x=1, x=6