Considere uma loja que vende cinco tipos de
refrigerantes. De quantas formas diferentes
podemos comprar três refrigerantes desta loja?
Respostas
Podemos comprar três refrigerantes desta loja de 35 maneiras diferentes.
Vamos supor que os cinco refrigerantes são a, b, c, d, e. Então, devemos resolver a equação a + b + c + d + e = 3, ou seja, encontrar as soluções inteiras não negativas.
Para isso, utilizaremos a seguinte fórmula:
- , sendo n a quantidade de incógnitas e m o resultado da soma.
Da equação montada, podemos afirmar que n = 5 e m = 3. Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:
.
Assim, concluímos que existem 35 maneiras diferentes de comprar os três refrigerantes.
Podemos comprar os refrigerantes da loja de 35 maneiras diferentes, o que torna correta a alternativa d).
Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é combinação com repetição.
Em análise combinatória, a combinação com repetição é utilizada quando desejamos saber de quantas formas podemos agrupar um número k de elementos que pertencem a um conjunto com n elementos no total, sendo que os elementos desses agrupamentos podem ser repetidos.
Assim, temos que a fórmula da combinação com repetição é CR = (n + k - 1)!/(k!*(n - 1)!), onde n é o número de elementos do conjunto, e k é o número de elementos de cada agrupamento.
Substituindo os valores, com n = 5 e k = 3, pois existem 5 refrigerantes na loja e desejamos conjuntos com 3 refrigerantes, obtemos que CR = (5 + 3 - 1)!/(3!*(5-1)!) = 7!/(3!*4!). Simplificando 7!, podemos escrever esse valor como sendo 7 x 6 x 5 x 4!/(3!*4!). Assim, temos a expressão se torna 7 x 6 x 5/3!.
Por fim, temos que 7 x 6 x 5 = 210, e 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Assim, 210/6 = 35.
Com isso, concluímos que podemos comprar os refrigerantes da loja de 35 maneiras diferentes, o que torna correta a alternativa d).
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