Question

encontre o volume do solido obtido pela rotaçao da região y=x e y=x(2) em torno do eixo x.

Answer 1

Temos por meio de calculo de volumes por integral de rotação que:

$V=\frac{\pi}{30}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente precisamos definir a área que iremos integrar.

Temos a função y=x e y=x^2 que se encotram em:

$x=x^2$

$x1=0$

$x2=1$

Ou seja, nossa integral será de 0 a 1 em x. Note que a função y=x no intervalo de 0 a 1 é maior que a função y=x², então afunção que iremos integrar será:

$f(x)=x-x^2$

Que é a diferença das duas funções.

Agora sabemos que para rotacionar uma função ao redor do eixo x, temos a seguinte formula:

$V=\pi\int\limits^b_a [f(x)]^2dx$

Então fazendo isto com nossa f(x):

$V=\pi\int\limits^1_0 [x-x^2]^2dx$

$V=\pi\int\limits^1_0 (x^2-2x^3+x^4)dx$

Integrando:

$V=\pi(\frac{x^3}{3}-\frac{2x^4}{4}+\frac{x^5}{5})\limits^1_0$

$V=\pi(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5})$

$V=\pi(\frac{10}{30}-\frac{15}{30}+\frac{6}{30})$

$V=\pi\frac{1}{30}$

$V=\frac{\pi}{30}$