Question

Como derivar V=5000(1-t/40)^2 ????

Answer 1

Podemos derivar a função de algumas formas, seja pela definição ou através de regras práticas. Optei por resolver pelas regras, observe:

Dada a função:

$V(x) = 5000.(\frac{1-t}{40} )^2$

Devemos utilizar a regra prática da multiplicação:

$V'(x) = g(x).h'(x) + g'(x).h(x)$

g(x) = 5000

h(x) = (1-t/40)²

Derivada g(x) = 0

Derivada h(x) = ??  (1-t/40)² <=> (1²-2t+t²/1600)

Para derivar h(x) podemos utilizar a regra prática da divisão, isso porque ao desenvolvermos (1-t/40)², obtemos (1²-2t+t²/1600).

$h'(x) = \frac{j'(x).k(x)-j(x).k'(x)}{k(x)^2}$

j(x) = 1-2t+t²

k(x) = 1600

Derivada j(x) [Utilize a regra do expoente] = 0-2+2t

Derivada k(x) [Derivada de constante é 0] = 0

$h'(x) = \frac{(-2+2t).1600 - (1-2t+t^2).0}{1600^2} = \frac{1600.(2t-2)}{1600^2} = \frac{2t-2}{1600} = \frac{2.(t-1)}{1600} = \frac{t-1}{800}$

Ou seja, a derivada da função h(x) é h'(x) = t-1/800. Assim, voltando à derivada de uma multiplicação:

$V'(x) = 5000.\frac{t-1}{800} + 0.\frac{(1-t)^2}{40} = 50.\frac{t-1}{8} = 25.\frac{t-1}{4} = 6,25.(t-1)$

Dessa maneira, a derivada da função V(x) é:

$\boxed{V'(x) = 6,25~.(t-1)}$