Question

Ache o valor de m para a equação 2x2-3x+m+3=0, que admite reciprocidade das raízes.

Answer 1

Resposta: M = - 1

Explicação passo-a-passo:

Segue a resposta em anexo

Transcrevendo o anexo:

A reciprocidade das raizes implica em:

X' = 1 / X'' ⇒ X' . X'' = 1

Sabemos tambem que o produto das raizes de uma equação do 2º grau é dada pela expressao X' . X'' = C/A

FATO:

X' . X'' = X' . X''

Da reciprocidade:  X' . X'' = 1

Do produto das raizes: X' . X'' = C/A

Como X' . X'' = X' . X'' entao C/A = 1

A equação do enunciado é:  2X² - 3X + M + 3 = 0

A = 2

B = -3

C = M + 3

Como C/A = 1  (visto acima), entao

(M + 3)/2 = 1

M + 3 = 2

M = 2 - 3

M = - 1  → EXATAMENTE COMO ESTAVA NO ANEXO DESDE O PRINCIPIO.

Answer 2

Resposta: -1

O método mais prático e rápido é usar a fórmula para o produto das raízes (demonstro abaixo como obtê-la).

• A Reciprocidade em uma equação de segundo grau corresponde a uma situação onde uma raiz é o oposto da outra, na forma: $\mathsf{x_1=x_2^{-1}~\therefore~x_1=\dfrac{1}{x_2}}$

Diante disso, podemos usar a fórmula para obter o produto das raízes, onde os coeficientes consideram o seguinte modelo:

• ax² + bx + c = 0 | 2x² - 3x + m + 3 = 0

$\mathsf{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{x_2}\cdot x_2=\dfrac{m+3}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x_2}{x_2}=\dfrac{m+3}{2}}\\\\\\ \mathsf{1=\dfrac{m+3}{2}}\\\\ \mathsf{m+3=2\cdot1}\\\\ \mathsf{m=2-3=\underline{\mathsf{-1}}}$

A resposta correta é -1.

A fórmula do produto pode ser obtida a através de Bháskara, observe:

$\begin{array}{ll} \mathsf{x_1\cdot x_2}&\mathsf{=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{(-b)^2-\left(\sqrt\Delta\right)^2}{\left(2a\right)^2}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{b^2-\sqrt\Delta}{4a^2}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{\cancel{\mathsf{b^2}}-\left(\cancel{\mathsf{b^2}}-\cancel{\mathsf{{4a}}}\cdot c\right)}{\cancel{\mathsf{4a^2}}}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{c}{a}} \end{array}$

Foi usada uma propriedade de produtos notáveis, como a que demonstro a seguir:

x² - y² = (x + y)(x - y)