Respostas
a) x⁴ - 5x² + 4 = 0
Essa equação é de quarto grau, ou seja, possui 4 raízes. Para tornar nossos cálculos mais fáceis, vamos substituir x² por y, e aí, a partir desta substituição, podemos encontrar uma equação de 2º grau, e todos as raízes. Veja:
x² = y
y² - 5y + 4 = 0
a = 1
b = - 5
c = 4
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4(1)(4)
Δ = 25 - 16
Δ = 9
y = - b ± √Δ / 2a
y = 5 ± 3 / 2
y' = 5 + 3 / 2
y' = 8/2
y' = 4
y'' = 5 - 3 / 2
y'' = 2/2
y'' = 1
Os valores que y pode assumir na equação de segundo grau são: 1 e 4.
Lembra que x² = y? Então, temos:
x² = y'
x² = 1
x = ± 1
x² = y''
x² = 4
x = ± √4
x = ± 2
As raízes desta equação são: - 2, - 1, 1 e 2.
b) √x + 2 = 3x - 4
Agora, para resolver esta equação, elevamos os dois lados ao quadrado, pois, aí podemos cancelar a raiz.
(√x + 2)² = (3x - 4)²
x + 2 = ( 3x - 4 )²
Obs.: (3x - 4)² é um produto notável.
x + 2 = (3x)² - 2(3x)(4) + (4)²
x + 2 = 9x² - 24x + 16
9x² - 24x - x + 16 - 2 = 0
9x² - 25x + 14 = 0
a = 9
b = - 25
c = 14
Δ = b² - 4ac
Δ = (-25)² - 4(9)(14)
Δ = 625 - 504
Δ = 121
x = - b ± √Δ / 2a
x = 25 ± 11 / 2(9)
x = 25 ± 11 / 18
x' = 25 + 11 / 18
x' = 36/18
x' = 2
x'' = 25 - 11 / 18
x'' = 14/18
x'' = 7/9
Encontrando os valores que x pode assumir, vamos testar qual deles é solução da equação:
√2 + 2 = 3(2) - 4
√4 = 6 - 4
2 = 2 Ok!
√7/9 + 2 = 3(7/9) - 4
√25/9 = 7/3 - 4
5/3 ≠ - 5/3
Concluímos, então, que x = 2 é a nossa resposta.