Respostas
Resposta:
17, 20 e 23
Explicação passo-a-passo:
Muito bom exercício! Combina vários conceitos matemáticos. Então vamos com calma!
Primeiro, pense numa caixa de sapato, aquela que o vendedor te entrega numa loja qualquer. Mentalize essa a imagem e veja:
a) A tampa é igual ao fundo. Dois lados são iguais.
b) Uma lateral é igual à outra. Dois lados são iguais, mas diferentes da tampa.
c) Por fim, a frente é igual ao fundo. Dois lados iguais, mas diferentes dos outros dois acima.
Então concluímos que essa caixa, em forma de paralelepípedo, tem 6 faces, cada uma formada por um retângulo, mas são só três tipos diferentes, já que elas têm duas repetições, certo?
Ok, essa foi a parte mais difícil de mentalizar. Pegue uma caixa de sapato se precisar compreender até aqui, antes de continuar. Você vai precisar para as próximas conclusões.
Pronto? Vamos em frente!
Vamos chamar os lados do primeiro retângulo de (a) e (b) - por exemplo, a tampa.
Vamos chamar os lados do segundo retângulo de (a) e (c), porque ele tem o lado (a) em comum com o primeiro. Por exemplo, se estivermos falando da lateral da caixa, notou que o lado da tampa que encosta na lateral é da mesma medida? Então por isso podemos chamar de (a) também.
Por fim, vamos chamar os lados do terceiro retângulo de (b) e (c), porque ele também repete as medidas. Se estivermos falando frente da caixa, ela encosta na tampa na mesma medida do lado (b) e encosta na lateral na mesma medida do lado (c).
Como os lados se repetem 2 vezes, temos assim:
Área do lado 1: a.b
Área do lado 2: a.b
Área do lado 3: a.c
Área do lado 4: a.c
Área do lado 5: b.c
Área do lado 6: b.c
Então, a área total é: 2.(a.b) + 2.(a.c) + 2.(b.c) = 2382.
Agora é resolver!
Primeiro, dá pra simplificar tudo por 2, para ficar mais fácil a conta:
(a.b) + (a.c) + (b.c) = 1191
E, ele informou que a medidas estão em P.A., certo? Então, podemos escrever assim:
b é igual a (a + 3); e (c) é igual a (a + 6). Substituindo:
[a. (a+3)] + [a. (a+6)] + [(a+3) . (a+6)] = 1191
Distribuindo todas as multiplicações:
3a² + 18a + 18 = 1191
De novo, você pode simplificar por 3 para a conta ficar mais fácil:
a² + 6a + 6 = 397
Colocando em forma de equação de segundo grau:
a² + 6a - 391 = 0
Se você resolver a equação, vai achar as raízes: 17 e -23.
Como medida de comprimento não pode ser negativa, vamos descartar a raíz negativa. Então a = 17.
Consequentemente b = 20 e c = 23.
Muito bom exercício para o aluno testar conhecimentos variados de matemática.