Com os conjuntos numéricos dados efetuem as operações ( usando diagrama de Venn )
A) Z U Q
B) Z ∩ Q
C) Q U N
D) Q ∩ N
Respostas
Representamos as letras A e C como somente Q, pelas definições dadas de subconjuntos e igualdade. B e D, por outro lado, são representadas por Z e N, respectivamente.
O diagrama de Venn é apenas um modo de representar dois ou mais conjuntos e tentar resolver heuristicamente alguns exercícios. Nós podemos resolver o exercício sem o uso dos diagramas de Venn. Descreverei, contudo, como podemos representar essas operações entre os conjuntos em diagramas de Venn.
Antes de tudo, precisamos definir os conjuntos Z, Q e N. O conjunto Z refere-se ao conjunto {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} e o conjunto N refere-se ao conjunto {0, 1, 2, ...}. O conjunto Q, dos racionais, engloba todos esses dois e mais os números decimais finitos e os decimais infinitos periódicos.
Podemos definir uma hierarquia entre eles, portanto:
O conjunto Z é subconjunto de Q e N é subconjunto de Z. Pela transitividade da relação de subconjunto, N é subconjunto de Q também.
Todo conjunto unido de seu subconjunto é ele mesmo (1) e todo conjunto que faz intersecção com um subconjunto seu dará esse mesmo subconjunto (2).
Em termos conjuntistas, para quaisquer conjuntos A e B: (A U B & A ⊆ B) = B (1) e (A ∩ B & A ⊆ B) = A (2)
Portanto, definida nossa hierarquia, dada como: N ⊆ Z ⊆ Q.
Assim, temos que:
A) Z U Q
Como Z é subconjunto de Q, então o resultado dessa operação seria Q, dada a definição (2). Ou seja, representamos essa operação com um único diagrama: o próprio Q, com um pequeno conjunto totalmente contido nele chamado Z.
B) Z ∩ Q
Como Z é subconjunto de Q e estamos fazendo a intersecção do primeiro com o segundo, o resultado será Z (de acordo com (1)). Representamos essa operação com um único diagrama: o próprio Q, com um pequeno conjunto totalmente contido nele chamado Z e pintamos esse pequeno conjunto, representando a intersecção entre os dois conjuntos.
C) Q U N
Dada a comutatividade da união (N U Q = Q U N) e como N é subconjunto de Q, então o resultado dessa operação seria Q novamente. Representamos essa operação com um único diagrama: o próprio Q, com um pequeno conjunto totalmente contido nele chamado N.
D) Q ∩ N
Como N é subconjunto de Q e estamos fazendo a intersecção de N com Q, teremos como resultado N (análoga à questão b). Representamos essa operação do seguinte modo: Q com um pequeno conjunto totalmente contido nele chamado N e pintamos esse pequeno conjunto, representando a intersecção entre os dois conjuntos.