Question

Um icosaedro possui todas aa faces pentqgonais. Quantas arestas e quantas vertices possui esse poliedro?

Answer 1

O icosaedro é um poliedro de 20 faces.

Se todas suas faces são pentagonais, teremos 20 faces pentagonais.

Uma face pentagonal é formada por 5 arestas, vamos então determinar o numero de arestas de desse poliedro:

$Numero~de~Arestas~=~(Numero~de~Faces)\times(Arestas~por~Face)\\\\\\Numero~de~Arestas~=~20\times 5\\\\\\\boxed{Numero~de~Arestas~=~100~arestas}$

Este numero de arestas, no entanto, não está certo.

Perceba que, em um poliedro, toda aresta é compartilhada por duas faces, ou seja, o valor de 100 arestas está contando 2 vezes cada aresta.

Para corrigir, basta dividirmos por 2, chegando ao numero de 50 arestas.

Em posse do numero de faces e do numero de arestas, podemos determinar o numero de vértices utilizando a relação de Euler:

$V~+~F~=~A~+~2\\\\\\V~+~20~=~50~+~2\\\\\\V~=~52~-~20\\\\\\\boxed{V~=~32~vertices}$