Matéria: Matemática
Autor: luisclaudiofgaspar
Perguntado 7 anos atrás

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Determine área da região compreendida entre a parábola y = 2 - x^2 e a reta y = - x (Leibniz)

valendo 20 pontos

Respostas

respondido por: mariaraimundalb

Resposta:

f(x) = 2 - x²

g(x) = - x

Primeiro temos que encontrar os pontos de intersecção:

-x = 2 - x²

x² - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

x = 2

x = -1

Em seguida, temos que identificar qual gráfico está em cima do outro.

f(x) é uma parábola que se abre para baixo e g(x) é uma reta decrescente que passa pela origem.

Para x = 0:

f(0) = 2 - (0)² = 2

g(0) = -(0) = 0

Logo, f(x) > g(x).

A área é dada por:

A = ∫ [f(x) - g(x)] dx

Neste caso:

A = ∫ [2 - x² - (-x)] dx

-1

A = ∫ [-x² + x + 2)] dx

-1

A = [-x^3/3+x^2/2+ 2x]

-1

A = (-2^3/3+2^2/2+ 2 .2) – ((-(-1)^3)/3+(-1)^2/2+ 2.(-1) )

A = 10/3- (-7/6)=9/2 u² ou 4,5 u²

Explicação passo-a-passo:

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área da região compreendida entre as referidas curvas é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = 4,5\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases}\tt \rho: y = 2 - x^{2}\\\tt \tau: y = -x\end{cases}$

Organizando as funções, temos:

$\Large\begin{cases}\tt \rho: f(x) = 2 - x^{2}\\\tt \tau: g(x) = -x\end{cases}$

Para calcular a área da região limitada pelas duas curvas, devemos:

Determinar o intervalo de integração entre as duas curvas.

Para isso, devemos calcular as abscissas dos pontos de interseções entre as curva. ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 2 - x^{2} = -x\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt -x^{2} + x + 2 = 0\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos resolver a equação do segundo grau.

Calculando o valor do delta:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \Delta = b^{2} - 4ac\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = 1^{2} - 4\cdot(-1)\cdot 2 \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = 1 + 8\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = 9\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \therefore\:\:\:\Delta = 9\end{gathered}$}$

Calculando as raízes:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot(-1)}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{-1\pm3}{-2}\end{gathered}$}$

Obtendo as raízes:

$\LARGE\begin{cases}\tt x' = \frac{-1 + 3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1\\ \tt x'' = \frac{-1 - 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2\end{cases}$

Portanto o conjunto solução da equação é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \{-1, 2\}\end{gathered}$}$

Então o intervalo de integração procurado é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt I = \left[a,\,b\right] = \left[x',\,x''\right] = \left[-1,\,2\right]\end{gathered}$}$

Calcular a área "S" da região entre as curvas.

Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right]\,dx \end{gathered}$}$

Onde:

$\Large\begin{cases}\tt a = Limitie\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{-1}^{2} \left[(2 - x^{2}) - (-x)\right]\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \int_{-1}^{2} \left[2 - x^{2} + x\right]\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \int_{-1}^{2} \left[-x^{2} + x + 2\right]\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 2x + c\right]\bigg|_{-1}^{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + 2x + c\right]\bigg|_{-1}^{2}\end{gathered}$}$

$\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{1}{3}\cdot2^{3} + \frac{1}{2}\cdot 2^{2} + 2\cdot2 + c\right] - \left[-\frac{1}{3}\cdot(-1)^{3} + \frac{1}{2}\cdot(-1)^{2} + 2\cdot(-1) + c\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{8}{3} + 2 + 4 + c\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 + c\right]\end{gathered}$}$