Question

A lei de um gás ideal confinado é P V = kT, onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e k > 0 constante. O gás está sendo aquecido à razão de 2graus/min e a pressão aumenta à razão de 0.5kg/min. Se em certo instante, a temperatura é de 200 graus e a pressão é de 10kg/cm2, ache a razão com que varia o volume para k = 8.

Answer 1

O volume do gás varia na razão de -6,4 cm³/min.

A expressão:

PV = kT

, sendo k uma constante, representa a lei dos gases perfeitos.

Conforme a questão nos informa, P, V e T variam ao longo do tempo. Deste modo, no lado esquerdo da expressão, devemos derivar aplicando a regra do produto:

$\frac{d}{dt}(P*V) = P'V + PV'$

E no lado direito, sendo k constante, podemos derivar diretamente:

$\frac{d}{dt}(kT) = kT'$

Vale ressaltar que, como na questão diz-se que essas variáveis variam em determinadas razões, e a derivada representa uma taxa de variação, por isso derivamos.

Derivando tudo, teremos:

P'V + PV' = kT'

Na expressão dos gases perfeitos vamos encontrar o valor do Volume no instante descrito:

PV = kT

10V = 8*200

V = 160 cm³

Substituindo os dados na expressão derivada:

0,5(kg/min)*160(cm³) + 10(kg/cm²)V' = 8*2(graus/min)

80(kg*cm³/min) + 10(kg/cm²)V' = 16(graus/min)

10V' = 16 - 80 = - 64

V' = -6,4 cm³/min

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