Question

I) Resolver o PVI :
{ 5y"+y'= - 6x y'(0)=1 y(0)=0

Answer 1

Utilizando metodo de resoluções de EDOs não homogeneas, temos que nossa solução geral é dada por: $y=-3x^2+30x+5-5e^{-\frac{x}{5}}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, para resolvermos uma EDO não homogenea, teremos que separa-la em dois casos, o caso homogeneo, e o caso não homogeneo, e então somar os dois resultados que será a solução geral.

Caso homogeneo:

Então para o caso homogeneo temos a seguinte EDO:

$5y''+y'=0$

Supondo uma solução do tipo:

$y=e^{rx}$

Nossa equação fica:

$5y''+y'=0$

$5.r^2.e^{rx}+r.e^{rx}=0$

$5r^2+r=0$

Resolvendo esta equação temos dois resultados para "r":

r = 0

r = -1/5

Então nossa solução seria uma combinação destes dois resultados:

$y=A.e^{0.x}+B.e^{-\frac{x}{5}}$

$y=A+B.e^{-\frac{x}{5}}$

Agora precisamos determinar estes coeficiente usando as condições de contorno. Quando x=0, y=0, então:

$0=A+B.e^{-\frac{0}{5}}$

$0=A+B$

$A=-B$

Então nossa equação fica:

$y=B.e^{-\frac{x}{5}}-B$

Agora com a outra condição, y'(0)=1. Derivando nossa equação:

$y=B.e^{-\frac{x}{5}}-B$

$y'=-\frac{B}{5}.e^{-\frac{x}{5}}$

Aplicando a condição de contorno na derivada:

$1=-\frac{B}{5}.e^{-\frac{0}{5}}$

$1=-\frac{B}{5}$

$B=-5$

Então nossa função fica:

$y=5-5e^{-\frac{x}{5}}$

E essa é nossa solução homogenea, agora vamos para a particular.

Solução particular:

Para a solução particular temos a equação:

$5y''+y'=-6x$

Como o lado não homogeneo da equação é uma polinomio, então vamos supor uma solução do tipo polinomio para este caso:

$y=Ax^3+Bx^2+Cx+D$

$y'=3Ax^2+2Bx+C$

$y''=6Ax+2B$

Substituindo esta hipotese de resposta na equação:

$5y''+y'=-6x$

$5(6Ax+2B)+(3Ax^2+2Bx+C)=-6x$

Abrindo estas contas, e colocando em evidência os x de mesmo grau:

$30Ax+10B+3Ax^2+2Bx+C=-6x$

$(3A)x^2+(30A+2B)x+(10B+C)=-6x$

Vemos nesta ultima equação, que os dois lados da equação temo que ser igual, para isto ser verdade, então A=0, pois do lado direito não há equação do segundo grau. Então ficamos com:

$(2B)x+(10B+C)=-6x$

E vemos que 2B = -6, para igualar as potencias de x:

B = -3

E vemos que 10B+C = 0, então se B=-3:

-30 + C = 0

C = 30

Então nossa solução fica:

$y=Ax^3+Bx^2+Cx+D$

$y=0.x^3-3.x^2+30x+D$

$y=-3x^2+30x+D$

Para determinar D, basta usar umas das condições de contorno, y(0)=0:

$0=-3.0^2+30.0+D$

$0=D$

Então nossa solução particular é:

$y=-3x^2+30x$

Agora por fim, vamos fazer a solução geral somando as duas:

$y=-3x^2+30x+5-5e^{-\frac{x}{5}}$

Assim esta é nossa solução geral.