Question

Um ponto P dista PA = 12 cm de uma circunferência de centro O e de 3 cm de raio. PT é tangente à circunferência em T e TB é perpendicular a OP em B. Determine a medida do segmento AB.

Answer 1

Em \Delta PTO\, temos

PO=12+3=15

OT=3

E, por Pitágoras,

PO^2=OT^2+PT^2

15^2=3^2+PT^2

PT=6\sqrt{6}

\Delta PTO\sim\Delta PTB (são semelhantes), pois, além de cada um possuir um ângulo reto, ambos compartilham o ângulo P (semelhança por AA).

Em \Delta PTO\, temos

\frac{PT}{PO}=\frac{6\sqrt{6}}{15}

Logo, em \Delta PTB\,

\frac{PB}{PT}=\frac{6\sqrt{6}}{15}

\frac{PB}{6\sqrt{6}}=\frac{6\sqrt{6}}{15}

PB=14,4

E, assim,

AB=PB-PA=14,4-12=2,4