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Resposta:
Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar esses dois números por meio de equações.
Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o significado da definição dada acima.
Expressões algébricas
Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas básicas aplicadas a números conhecidos e a números desconhecidos. Para representar esses números desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum utilizar as letras x e y, mas isso não significa que elas são as únicas. Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até símbolos diversos.
Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo:
1) 12x2 + 16y + 4ab
2) x + y
3) 4 + 7a
Todas essas expressões possuem letras representando números e números sendo somados e multiplicados.
Igualdade
Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua composição será chamada de equação. Observe alguns exemplos:
1) x + 2 = 7
2) 12x2 + 16y + 4ab = 7
3) 1:x = 3
A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a igualdade que relaciona uma operação matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. Portanto, a igualdade é peça fundamental ao procurar os resultados de uma equação.
Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x?
Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 como resultado. Observe que é possível pensar em um resultado “de cabeça” ou pensar em uma estratégia para resolver essa equação. A estratégia pode ser obtida da seguinte maneira: Se x é um número que, subtraído de 14, resulta em 8, então, para encontrar x, basta somar 14 com 8. Desse modo, podemos escrever a seguinte linha de raciocínio:
x – 14 = 8
x = 8 + 14
x = 22
Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado.
Grau de uma equação
O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de incógnitas que ela possui. Dizemos que uma equação é de grau 1 quando o maior expoente das suas incógnitas é 1. Uma equação possui grau 2 quando o maior expoente das suas incógnitas é 2 e assim por diante. O grau também pode ser dado pelo produto de incógnitas diferentes. Por exemplo: a equação xy + 2 = y é uma equação de grau 2 porque possui um produto entre duas incógnitas de expoente 1.
O grau de uma equação determina quantas soluções a equação possui. Desse modo, uma equação de grau 1 possui apenas 1 resultado (um valor possível para a incógnita); uma equação de grau 2 possui dois resultados e assim sucessivamente.
Solução de equações
Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do pensamento acima. Repare que, observando as duas equações (x – 14 = 8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o número 14 trocou de lado da igualdade com um efeito colateral: trocou o seu sinal de negativo para positivo. Essa é uma das regras para solução de equações que estão listadas a seguir:
Regra 1 – Do lado direito da igualdade, só permanecem números que não possuem incógnita; do lado esquerdo, apenas números que possuem;
Regra 2 – Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é necessário trocar o sinal deles;
Regra 3 – Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. Lembre-se de que os números que possuem incógnita podem ser somados se a incógnita for a mesma. Para isso, some apenas o número que as acompanha.
Regra 4 – Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a acompanha deverá ser passado para o lado direito da equação dividindo os seus componentes.
Regra 5 – Se for necessário trocar de lado um número que está no denominador de uma fração, ele deverá passar para o outro lado multiplicando.
Exemplos
1) Qual o valor de x na equação 4x + 4 = 2x – 8?
Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a seguinte linha de raciocínio:
4x + 4 = 2x – 8
4x – 2x = – 8 – 4
Agora, realize a terceira regra para obter:
2x = – 12
Por fim, realize a regra 4:
2x = – 12
x = –12
2
x = – 6
Portanto, o valor de x é – 6.
2) Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, quais são esses dois números?
Solução: Observe que os números são desconhecidos, mas são consecutivos. Ser consecutivo significa que o segundo é uma unidade maior que o primeiro. Por exemplo, 1 e 2 são consecutivos porque 2 é uma unidade maior que 1. Se os números consecutivos são desconhecidos, representaremos eles por uma letra (no caso x) e somaremos 1 ao primeiro para obter o segundo. Além disso, sabendo que a soma entre os dois tem 11 como resultado, podemos escrever:
x + (x + 1) = 11
x + x + 1 = 11
Pelas regras 1 e 2, obtenha:
x + x = 11 – 1
Pela regra 3, observe o resultado:
2x = 10
Utilizando a regra 4, obtenha:
2x = 10
x = 10
2
x = 5
Como x representava o primeiro número, então os números consecutivos cuja soma tem 11 como resultado são 5 e 6.
Fonte: Brasil Escola
Resposta:
igualdade entre duas expressões matemáticas que se verifica para determinados valores das variáveis.
Explicação passo-a-passo:
Passo 1 – Colocar no primeiro membro todos os termos que possuem incógnita.
Reescreva a equação colocando todos os termos que possuem incógnita no primeiro membro. Para tanto, utilize a seguinte regra: Trocou de membro, trocou de sinal. Observe o exemplo:
7x + 80 = 4x – 7
O termo 4x está no segundo membro e deve ser colocado no primeiro. Assim, troque 4x de membro trocando também seu sinal:
7x + 80 = 4x – 7
7x – 4x + 80 = – 7
Passo 2 – Colocar no segundo membro todos os termos que não possuem incógnita.
Repita o procedimento do passo anterior para transferir termos que não possuem incógnita do primeiro para o segundo membro. No exemplo abaixo (continuação do exemplo anterior), observe que + 80 é um termo que não possui incógnita. Portanto, deve ser colocado no segundo membro. Ao fazer isso, lembre-se da regra: Trocou de membro, trocou de sinal.
Passo 3 – Simplificar as expressões em cada membro.
Para esse passo, basta realizar as operações indicadas na equação. Para tanto, lembre-se de como devem ser realizadas as somas de números inteiros.
7x – 4x = – 7 – 80
3x = – 87
Passo 4 – Isolar a incógnita no primeiro membro.
Em alguns casos, como no exemplo acima, a incógnita aparece sendo multiplicada (ou dividida) por um número qualquer. Para isolar a incógnita no primeiro membro da equação, deve-se considerar a seguinte regra: Caso o número esteja multiplicando a incógnita, passá-lo para o segundo membro dividindo. Caso o número esteja dividindo a incógnita, passá-lo para o segundo membro multiplicando. Por exemplo:
3x = – 87
Observe que a incógnita x está sendo multiplicada por 3. Portanto, 3 deve passar para o segundo membro dividindo. Logo, o quarto passo terá o seguinte resultado:
3x = – 87
x = – 87
3
x = – 29
Exemplo:
Qual é o valor de x da equação seguinte?
2x + 9 = 4x – 18
4 4
Primeiro passo:
2x – 4x + 9 = – 18
4 4
Segundo passo:
2x – 4x = – 18 – 9
4 4
Terceiro passo
– 2x = – 27
4
Quarto passo: deve ser feito duas vezes, uma para o 4 que está dividindo e outra para o 2 que está multiplicando.
– 2x = – 27
4
– 2x = – 27·4
– 2x = – 108
x = – 108
– 2
x = 54