Question

O número n = 2ᵃ . 3ᵇ . c¹ divide o número 3 600. Suponha que a, b e c sejam inteiros positivos, c seja um número primo maior que 3 e que n tenha 16 divisores.
Então, qual é o valor de a + b – c?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos decompor 3600 em fatores primos. Então:

3600 | 2

1800 | 2

900 | 2

450 | 2

225 | 3

75 | 3

25 | 5

5 | 5

1 | = 2⁴.3².5²

Como n = 2ᵃ.3ᵇ.c¹ tem 16 divisores, então:

(a + 1).(b + 1).(1 + 1) = 16

(a + 1).(b + 1).2 = 16

(a + 1).(b + 1) = 16/2

(a + 1).(b + 1) = 8

Assim, temos duas possibilidades para a e b:

a = 3 e b = 1  ou a = 1 e b = 3

Para a = 3 e b = 1 confere, por 2³ < 2⁴ e 3¹ < 3², mas, para a = 1 e b = 3 não confere. Portanto a = 3 e b = 1

Como c é primo maior que 3 e deve ser fator que divida 2⁴.3².5², então c só pode ser 5. Finalmente, temos que:

a + b - c = 3 + 1 - 5 => a + b - c = -1