Question

Encontre a equação da reta tangente à curva y = tg x no ponto (π/4,1)

Answer 1

Utilizando as definições de reta e derivada temos que nossa reta tangente é dada por:

$y=2x+\frac{2-\pi}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Uma reta é dada pela função:

$y=Ax+B$

Onde A e B são constante, mas mais importante que isto, A determina o angulo de inclinação da reta, que é exatamente a mesma função da derivada de uma função em um ponto, ou seja, a derivada da função do ponto é o próprio valor de A, assim precisamos encontrar esta derivada:

$y=tg(x)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cos^2(x)}$

Substituindo pelo valor de x no ponto, x = π/4:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cos^2(\frac{\pi}{4})}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{2}{4}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx}=2$

Então sabemos nossa derivada no ponto, assim nossa reta tangente fica:

$y=2x+B$

Mas falta encontrar B, então substituimos o ponto desejado novamente na função:

$y=2x+B$

$1=2\frac{\pi}{4}+B$

$1=\frac{\pi}{2}+B$

$B=1-\frac{\pi}{2}$

$B=\frac{2-\pi}{2}$

Assim nossa função fica:

$y=2x+\frac{2-\pi}{2}$