Question

Calcule.
g)$\int\limits {\frac{x^{3}+x+1 }{x^{2}-2x+1 } } \, dx$

h)$\int\limits \frac{x^{2}+3 }{x^{2}-9} \, dx$

Answer 1

Utilize frações parciais para calcular as integrais.

a)

x³+x+1. |x²-2x+1

-x³+2x²-x x+2

2x²+1

-2x²+4x-2

(4x-1)

$\frac{ {x}^{3} + x + 1 }{ {x}^{2} - 2x + 1 } = x + 2 + \frac{4x - 1}{ {x}^{2} - 2x + 1}$

$= ∫(x + 2)dx + ∫ \frac{4x - 1}{ {x}^{2} - 2x + 1 } dx$

$∫ \frac{4x - 1}{ {x}^{2} - 2x + 1 } dx = ∫ \frac{4x - 1}{ {(x - 1)}^{2} } dx$

Faça g=x-1→ x=g+1

dx=dg

$∫ \frac{4x - 1}{ {(x - 1)}^{2} } dx = ∫ \frac{4(g + 1) - 1}{ {g}^{2} } dg$

$∫ \frac{4g + 4 - 1 }{ {g}^{2} } dg \\ = ∫ \frac{4g + 3 }{ {g}^{2} } dg \\ = 4∫ \frac{dg}{g} + 3∫ \frac{dg}{ {g}^{2} }$

$= 4 ln|g| - \frac{3}{g} + c$

Voltando a substituição temos

$∫ \frac{4x - 1}{ {(x - 1)}^{2} } dx \\ = 4 ln |x - 1| - \frac{3}{x - 1} + c$

$</p><p>∫</p><p> \frac{ {x}^{3} + x + 1}{ {x}^{2} - 2x + 1 } dx \\ = </p><p>∫(x + 2)dx + ∫ \frac{4x - 1}{ {(x - 1)}^{2} }dx </p><p>$

$= \frac{ {x}^{2} }{2} + 2x + 4 ln|x - 1| - \frac{3}{x - 1} + c$

A resolução da letra b é análoga a da letra a.