Question

Determine o valor da constante c da solução geral da EDO de primeira ordem exata (x + y²)dx + (2xy + y - 1) dy = 0 com y(1) = 1

Alternativas:

a) 1
b) 1/2
c) 3/4
d) 2/3
e) 3/2

Agradeço imensamente quem puder explicar!
Estou dando 15 pontos só para esta resposta!

Answer 1

para ser uma EDO exata

dM/dy=dN/dx

M=x+y²

N=2xy+y-1

dM/dy=2y

dN/dx=2y

agora escolhemos uma das funções. vou escolher x+y²

c=int (x+y²)dx + g(y)

c=x²/2+xy² + g(y)

mas ainda temos que

dN/dy=d(x²/2+xy²)/dy+g'(y)=2xy+y-1

2y+g'(y)=2xy+y-1

g'(y)=2xy-2y-1

agora integrando g'(y) em relação a y

g(y)=xy²-y²-y

c=x²/2+xy²+xy²-y²-y

c=x²/2+2xy²-y²-y

y(1)=1

c=1²/2+2.1.1²-1²-1

c=1/2 //.

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \mathsf{alternativa \: \huge{ \boxed{b}}}}}}$