Question

Se 2400 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e
sem tampa, encontre as dimensões da caixa para obter o maior volume possível.

Answer 1

Resposta:

base quadrada = 32cm

altura = 8cm

Explicação passo-a-passo:

procurando medidas do maior quadrado cuja área seja menor e mais próxima de 2400  então disponibilizado.

49×49 = 2401 (não serve)

48×48 = 2304

admitindo que se "corte" em cada um dos 4 cantos do quadrado de lado 48 outro quadradinho de tamanho "x"  obteremos a medida do lado do quadrado base para confecção da caixa solicitada. Neste contexto se multiplicarmos esta  base pelo próprio "x", fruto da "dobra" do material obteremos o maior volume disponível igualando a derivada da expressão à zero.

Então

V = (48 - 2x)²(x)

V' = 2(48 - 2x)(-2)(x) + (48 - 2x)²

V' = -4x(48 - 2x) + (48 - 2x)²

V' = -192x + 8x² + 2304 - 192x + 4x²

V' = 12x² - 384x + 2304

V' = 0

12x² - 384x + 2304 = 0

x² -32x + 192 = 0

x = {32+-√[(-32)² - 4(1)(192)]}/2(1)

x = [32 +- √(1024 - 768)]/2

x = (32 +- √256)/2

x = (32 +- 16)/2

x' = (32 + 16)/2 ⇒ x' = 48/2 ⇒ x' = 24 (não serve!!)

x'' = (32 - 16)/2 ⇒ x'' = 16/2 ⇒ x'' = 8

assim subtraindo 2×8 de 48 teremos a medida do lado da caixa

lado ⇒ 48 - 16 = 32

altura (h) da caixa será o próprio "x" ⇒ h = 8