. (UEFS/08.2) Os amigos J e P combinaram de se encontrar em um restaurante R da cidade. Analisando-se o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, ...
Respostas
A razão entre as distâncias percorridas por P e J é 2/3.
Reescrevendo o enunciado:
Os amigos J e P combinaram de se encontrar em um restaurante R da cidade. Analisando-se o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o ponto de encontro, pode-se concluir que a razão entre as distâncias percorridas por P e J é:
a) 3/2
b) 5/4
c) 1
d) 4/5
e) 2/3
Solução
Primeiramente, vamos determinar as duas retas.
A equação de uma reta é da forma y = ax + b.
A reta do amigo J passa pelos pontos (0,8) e (4,0). Substituindo esses pontos em y = ax + b, obtemos o sistema:
{b = 8
{4a + b = 0.
Logo,
4a + 8 = 0
4a = -8
a = -2.
A equação da reta é y = -2x + 8.
Já a reta do amigo P passa pelos pontos (-2,-1/2) e (-1,0). Da mesma forma:
{-2a + b = -1/2
{-a + b = 0
Da segunda equação, temos que a = b. Logo,
-2a + a = -1/2
-a = -1/2
a = 1/2 = b.
A equação da reta é y = x/2 + 1/2.
Agora, precisamos calcular a interseção entre as duas retas. Para isso, vamos igualá-las:
x/2 + 1/2 = -2x + 8
x + 1 = -4x + 16
5x = 15
x = 3
e
y = -2.3 + 8
y = 2.
O ponto R é (3,2).
Por fim, basta calcular as distâncias entre J = (0,8) e R, P = (-1,0) e R.
Distância entre J e R:
d² = (3 - 0)² + (2 - 8)²
d² = 9 + 36
d² = 45
d = 3√5.
Distância entre P e R:
d² = (3 + 1)² + (2 - 0)²
d² = 16 + 4
d² = 20
d = 2√5.
Portanto, a razão é igual a 2√5/3√5 = 2/3.
