Question

Uma progressão aritmética tem 23 termos, a soma dos três termos intermediários dessa progressão aritmética é 720, e a soma dos três últimos termos dessa progressão aritmética é 1320. Qual é o 18º termo dessa progressão aritmética?
A. 240 B. 360 C. 340 D. 440​

Answer 1

Numa PA de 23 termos, os 3 intermediários serão a11, a12 e a13 e os 3 últimos serão a21, a22 e a23.

Utilizando a equação do termo geral, vamos reescrever estes termos em função de a1 e da razão (r):

$\boxed{a_n~=~a_1+(n-1).r}\\\\\\\\a_{11}~=~a_1+(11-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~\boxed{a_{11}~=~a_1+10r}\\\\\\a_{12}~=~a_1+(12-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~\boxed{a_{12}~=~a_1+11r}\\\\\\a_{13}~=~a_1+(13-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~\boxed{a_{13}~=~a_1+12r}\\\\\\a_{21}~=~a_1+(21-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~\boxed{a_{21}~=~a_1+20r}\\\\\\a_{22}~=~a_1+(22-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~\boxed{a_{22}~=~a_1+21r}\\\\\\a_{23}~=~a_1+(23-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~\boxed{a_{23}~=~a_1+22r}$

Montando as duas equações do texto, temos:

$a_{11}+a_{12}+a_{13}~=~720\\\\\\a_1+10r+a_1+11r+a_1+12r~=~720\\\\\\\3a_1+33r~=~720\\\\\\\boxed{a_1~+11r~=~240}\\\\\\\\a_{21}+a_{22}+a_{23}~=~1320\\\\\\a_1+20r+a_1+21r+a_1+22r~=~1320\\\\\\3a_1+63r~=~1320\\\\\\\boxed{a_1+21r~=~440}$

Subtraindo a 1ª equação da 2ª equação, temos:

$(a_1+21r)-(a_1+11r)~=~440-240\\\\\\10r~=~200\\\\\\\boxed{r~=~20}\\\\\\Substituindo~o~valor~de~"r"~para~achar~a_1:\\\\\\a_1+11r~=~240\\\\\\a_1~=~240-11\,.\,20\\\\\\\boxed{a_1~=~20}$

Por fim, utilizando a equação do termo geral, podemos determinar a18:

$a_{18}~=~a_1+(18-1)\,.\,r\\\\\\a_{18}~=~20~+~17\,.\,20\\\\\\a_{18}~=~20~+~340\\\\\\\boxed{a_{18}~=~360}$

Considerações:  A questão poderia ser feita mais rapidamente (menos passos) se optássemos por utilizar uma equação do termo geral modificada (abaixo).

$\boxed{a_n~=~a_{18}+(n-18)\,.\,r}$