Question

O gráfico de uma função afim passa pelos pontos (-1,3) e (3,9). Determine a função f(x) em sua forma algébrica! ​

Answer 1

Resposta:

$f(x) = \dfrac{3}{2}*x+\dfrac{9}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Uma função afim (ou também chamada função de primeiro grau) é uma função que tem a característica de ser linear, ou seja, f(x) cresce de forma igual para cada intervalo Δx = x₁ - x₂ qualquer. Ou seja, para x₁ e x₂ distintos, a diferença de f(x) para cada x é k vezes a diferença entre os x:

$f(x_1)-f(x_2) = k\times(x_1-x_2)$

Você deve conhecer essa identidade do seguinte modo:

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a$

Que é o mesmo, dado que y = f(x), que

$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = k$

Quando esboçamos uma função, normalmente a função retorna um valor e atribuímos um ponto que pertence a função: (x, f(x)) , o conjunto de todos os pontos no plano é o que chamamos de gráfico da função.

Dados 2 pontos (-1, 3) e (3, 9) que pertencem à f, obtemos x₁ , x₂, f(x₁) e f(x₂):

x₁ = -1

f(x₁) = 3

x₂ = 3

f(x₂) = 9

Aplicando,

$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = k$

$\dfrac{3-9}{-1-3} = k$

$\dfrac{-6}{-4} = k$

$k = \dfrac{3)}{2}$

Assim, podemos montar nossa função f(x):

$f(x) = k*x+q$

$f(x) = \dfrac{3}{2}*x+q$

A constante q é uma constante que não interfere no crescimento da função, que é o que analisamos anteriormente, mas de uma constante que fará com que nossa função se desloque no sentido do eixo y.

Para descobrir o valor de q basta substituirmos um dos ponto em nossa função:

$f(x_1) = \dfrac{3}{2}*x_1+q$

$3 = \dfrac{3}{2}*(-1)+q$

$3 = -\dfrac{3}{2}+q$

$3 + \dfrac{3}{2} = q$

$q=\dfrac{9}{2}$

Portanto, nossa função é:

$f(x) = \dfrac{3}{2}*x+\dfrac{9}{2}$

Para ter certeza basta conferir para o segundo ponto:

$f(x_2) = \dfrac{3}{2}*x_2+\dfrac{9}{2}$

$9 = \dfrac{3}{2}*3+\dfrac{9}{2}$

$9 = \dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}$

$9 = \dfrac{18}{2}$

$9 = 9$

Correto! Nossa função passa pelos dois pontos!