Question

Considere o conjunto dos pares ordenados (x, y) de números reais, tais que -1 ≤ x ≤ 1 e y = x(1-x).

a) represente esse conjunto no plano xOy.

b) dê o conjunto de todos os possíveis valores de y.

Answer 1

y = x - x² , isto é, y = -x² + x
Temos uma função do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola, nesse caso, limitada pelos valores de x

Vamos encontrar alguns pontos importantes dessa parábola.

Pontos de intersecção com o eixo x (sabemos que esses pontos têm y = 0):
-x² + x = 0 ⇒ x(-x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou -x + 1 = 0 ⇒ -x = -1 ⇒ x = 1
Portanto, temos os pontos (0, 0) e (1,0)

Ponto de intersecção com o eixo y (esse ponto tem x = 0):
Substituindo x por zero, encontramos y = 0
Portanto, temos (coincidentemente) o ponto (0, 0)

Vértice da parábola:
x do vértice = -b / 2a
x do vértice = -1 / 2.(-1) = -1 / -2 = 1/2
y do vértice = -Δ / 4a
Como Δ = 1, temos
y do vértice = -1 / 4.(-1) = -1 / -4 = 1/4
Portanto V = (1/2, 1/4)

Vamos ver o que acontece nas extremidades do intervalo dado:
Para x = -1, y = -(-1)² + (-1) = -1 - 1 = -2 
Portanto, a parábola deve iniciar no ponto (-1, -2)
Para x = 1, já sabemos que y = 0
Portanto, a parábola deve terminar no ponto (1, 0)

Lembre-se que, como a é negativo, essa parábola tem concavidade voltada para baixo.

Então, represente no plano os pontos encontrados: (0, 0), (1, 0), (1/2, 1/4) e
 (-1, -2)
Trace o trecho de parábola que vai de (-1, -2) com bolinha fechada nesse ponto, até (1, 0) também com bolinha fechada nesse ponto.