Question

algueem me ajudaaah :)


$\left \{ {{x+y=\frac{5}{6} } \atop {x^{2}+3y=\frac{5}{4} }} \right.$

Answer 1

Podemos resolver de vários métodos, mas estarei resolvendo pelo método da substituição que tem como objetivo achar o valor de uma incógnita e substituir em uma das equações.

$\left \{ {x+y=\frac{5}{6}} \atop {x^2+3y=\frac{5}{4}}} \right. \\\\ x + y = \frac{5}{6} \\ \boxed{x = \frac{5}{6}-y}$

Substituindo o valor de x na segunda equação, temos:

$\\ \boxed{x = \frac{5}{6}-y} \\\\ x^2+3y=\frac{5}{4} \\ (\frac{5}{6}-y})^2+3y = \frac{5}{4} \\ \frac{25}{36}-\frac{10}{6}y + y^2 + 3y = \frac{5}{4} \\ \frac{25}{36}-\frac{5}{3}y+y^2+3y=\frac{5}{4} \\ \frac{25}{36} - \frac{5}{3}y+3y+y^2=\frac{5}{4} \\ \frac{25}{36} - \frac{4}{3}y+y^2 = \frac{5}{4} \\ 25+48y+36y^2 = 45 \\ 36y^2+48y + 25 - 45 = 0 \\ \boxed{36y^2+48y-20=0}$

Com isso, formou-se uma equação do segundo grau. Como nós temos os termos pares (a, b, c), podemos simplificá-la dividindo por 4. Ficando:

$36y^2+48y-20=0 \\ \boxed{9y^2+12y-5=0}$

Achando os possíveis valores de y:

$9y^2+12y-5=0 \\\\ \Delta = (12)^2-4*9*(-5) \\ \Delta = 144 + 180 \\ \Delta = 324 \\\\ y = \frac{-12\pm\sqrt{324}}{2*9} \\ y' = \frac{-12+18}{18} = \frac{6}{18} = \boxed{\frac{1}{3}} \\ y'' = \frac{-12-18}{18} = -\frac{30}{18} = \boxed{-\frac{5}{3}}$

Agora substituindo o valor de y na equação $\boxed{x = \frac{5}{6}-y}$, temos:

$Para \ y = \frac{1}{3}: \\ x = \frac{5}{6}-y \\ x = \frac{5}{6}-\frac{1}{3} \\ x = \frac{5-2}{6} \\ x = \frac{3}{6} \\ \boxed{x = \frac{1}{2}} \\\\ Para \ y = -\frac{5}{3}: \\ x = \frac{5}{6} - y \\ x = \frac{5}{6}-(-\frac{5}{3}) \\ x = \frac{5}{6} + \frac{5}{3} \\ x = \frac{5+10}{6} \\ x = \frac{15}{6} \\ \boxed{x = \frac{5}{2}}$

Sendo assim, as possíveis soluções para esse sistema é:

$(x_1, y_1) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{3}) \\\\ (x_2, y_2) = (\frac{5}{2}, -\frac{5}{3})$

Se caso queira verificar se as soluções vão de encontro com a igualdade, fique a vontade. Não irei fazer aqui pois vai ficar extensa a resposta.