Question

Buscando maximizar as vendas do sanduíche XYZ, a Cantina´s precisa saber qual é a quantidade (x) de sanduíches a serem vendidos diariamente para maximizar a receita deste produto. E, para tal operação a Cantina´s definiu como função receita: R(X) = - 2x² + 100x. E, também qual será o valor da Receita Máxima obtida?

Answer 1

utilizando o método de completar quadrados, obtemos que a quantidade a ser vendida para gerar lucro máximo é de 25 sanduíches e o lucro máximo de 1250 reais.

Uma equação do segundo grau possui um máximo (ou mínimo) no ponto $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ onde $x1$ e $x_2$ são as raízes da equação.

Logo o primeiro passo para determina a quantidade que gera lucro máximo é encontrar as raízes.

Seja a função:

$R(X) = - 2x^2 + 100x$

Como queremos encontrar as raízes, queremos resolver para $R(x)=0$

$R(X) = - 2x^2 + 100x=0$

Usando a técnica de completar quadrados, primeiro reescrevemos a equação como

$R(X) = - x^2 + 50x=0$

Depois, note que $-(x-25)^2=-x^2+50x-625$

Ou seja,

$-x^2+50x=-(x-25)^2+625=0$

Logo:

$-(x-25)^2=-625$

$(x-25)^2=625$

$(x-25)=\sqrt{625}$

$x=25\pm 25$

Assim, $x_1=0$ e [tex x_2=50[/tex].

Obtemos então o ponto de máximo $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0+50}{2}=25$

E o valor da função neste ponto é:

$R(25) = - 2\times 25^2 + 100 \times 25 = 1250$