Question

3. (UNIFRA/2012) Suponha que um determinad
bem sofra uma desvalorização anual de 20%. C
tempo t necessário para que o valor deste bem se
reduza a metade e
log 2.3
a) =
log5
b) t = log2 + log5
0
1032
108 2.1
c) +- 3 og2 - logs
1082
c)
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Answer 1

Utilizando propriedades de logaritmos, temos que a resposta é $t=-\frac{Log(2)}{3Log(2)-1}$, Letra e).

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente montar a função de valor deste bem:

$V=M.(0,8)^t$

V é o valor final deste bem, M é o seu valor inicial, 0,8 vem de 80% pois se ele desvaloriza 20%, então cada ano ele tem somente 80% do seu valor, e t é o valor do tempo passado.

Assim queremos saber quando V vai ser M/2, pois queremos que o valor fique metade do inicial, então temos:

$\frac{M}{2}=M.(0,8)^t$

$\frac{1}{2}=(0,8)^t$

Aplicando log na base 10 dos dois lados:

$Log(\frac{1}{2})=Log((0,8)^t)$

Utilizando propriedades de logaritmos:

$Log(1)-Log(2)=t.Log(0,8)$

$-Log(2)=t.Log(8.10^{-1})$

$-Log(2)=t.(Log(8)+Log(10^{-1}))$

$-Log(2)=t.(Log(2^3)-1)$

$-Log(2)=t.(3Log(2)-1)$

$t=-\frac{Log(2)}{3Log(2)-1}$

Então temos que a resposta é $t=-\frac{Log(2)}{3Log(2)-1}$, Letra e).