Question

Os restos das divisões de 109 e 101 por x são
respectivamente 7 e 5 e os restos das divisões de 149 e
223 por y são respectivamente 9 e 3. Então y - x é igual a quanto?​

Answer 1

Se 109 deixa resto 7 na divisão por x, podemos dizer que 109 é congruente (mód x), então...

109 ≡ 7 (mód X), para que ele seja divisível basta subtrair o 7 dos dois lados.

109 - 7 ≡ 0 (mod X)

102 ≡ 0 (mod X)

então X é divisor de 102, agora faremos o mesmo para os números restantes.

101 ≡ 5 (mod X)

96 ≡ 0 (mod X)

com isso temos que X é divisível por 96 e 102, para que isso ocorra é necessário que X seja o m.d.c.( 96, 102 ).

O m.d.c. entre esses números é 6, pois é o único número que prova aquelas congruências. Sendo assim, x = 6. Agora façamos o mesmo para o y.

149 ≡ 9 (mod y)

140 ≡ 0 (mod y)

223 ≡ 3 (mod y)

220 ≡ 0 (mod y)

m.d.c.( 140, 220 ) = 20, logo y = 20.

Para provar, basta realizar as divisões e ver os restos.

Com isso, y - x = 20 - 6 = 14

Espero ter ajudado!