Question

Buscando maximizar as vendas do sanduíche XYZ, a Cantina´s precisa saber qual é a quantidade (x) de sanduíches a serem vendidos diariamente para maximizar a receita deste produto. E, para tal operação a Cantina´s definiu como função receita: R(X) = - 2x² + 100x. E, também qual será o valor da Receita Máxima obtida?

Answer 1

Utilizando conceitos de parabola e vertice temos que a produção maxima acontece quando cantina vende 25 sanduiches, que no caso, recebem uma receita de R$ 1.250,00.

Explicação passo-a-passo:

Então temso a função receita:

$R(x)=-2x^2+100x$

Note que esta função é a função de segundo grau, ou seja, o gráfico desta função é uma parabola, mais especificamente, sabemos que esta é uma parabola voltada para baixo, pois o valor do coeficiente de x² é negativo, assim se a parabola é voltada para baixo, então existe um ponto maximo da para bola, que é exatamente, o ponto onde a produção é maxima que queremos.

O ponto maximo da parabola é chamado de vertice, o vertice tem formulas para o y do vertice e para o x do vertice, mas neste caso queremos o y do vertice, pois y que representa a receita, então a formula para y do vertice é:

$Yv=-\frac{\Delta}{4a}$

$\Delta=b^2-4ac$

Usando esta formula na nossa função então:

$\Delta=100^2-(4.-2.0)=10000$

$Yv=\frac{\Delta}{4a}$

$Yv=\frac{-10000}{4.-2}$

$Yv=\frac{10000}{8}$

$Yv=1250$

Para o x do vertice a formula é:

$Xv=-\frac{b}{2a}$

No nosso caso:

$Xv=-\frac{100}{2.-2}$

$Xv=\frac{100}{4}$

$Xv=25$

Assim nossa produção maxima acontece quando cantina vende 25 sanduiches, que no caso, recebem uma receita de R$ 1.250,00.