Question

Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de
três lados e tem um rio reto como quarto lado. Seja x o comprimento de
cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo
ao rio.
a) Expresse y em termos de x.
b) Expresse a área A do campo em termos de x.
c) Qual é a maior área que pode ser cercada?

obs: A figura é um retângulo de lado esquerdo e direito 'x', parte de baixo 'y' e de cima o "rio".

Answer 1

O perímetro de um retângulo de dimensões x e y é dado pela equação:

P = 2x + 2y

Como um dos lados não será cercado, o perímetro passa a ser:

P = 2x + y

a) Se o perímetro vale 500 m, temos que:

500 = 2x + y

y = 500 - 2x

b) A área será o produto entre x e y, logo:

A = x.y

A = x.(500 - 2x)

A = 500x - 2x²

c) A maior área será o valor máximo da parábola descrita pela equação acima, este valor máximo é a coordenada y do vértice, dada por:

yv = -Δ/4a

yv = -(500² - 0)/4.(-2)

yv = 31250 m²