Question

Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da análise matemática, faz-se necessário construir os raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que a soma 1 + 3 + 5 + ... + 2n -1 = n² para todo n natural, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:

Answer 1

Resposta:

A afirmação pode ser demonstrada pelo Princípio de Indução Finita (PIF).

Temos n pertencente aos naturais e n>=1.

Para n=1 temos

1=1^2

Vamos supor que a afirmação seja verdadeira para n=k

1+3+5+...+(2k-1)=k^2 (hipótese de Indução)

E a seguir mostramos que é verdadeira para n=k+1

1+3+5+...+(2 (k+1)-1)=

1+3+5+...+(2k+2-1)=

1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)= (utilizando a hipótese de Indução temos)

k^2+2k+1=(k+1)^2

Como queríamos demonstrar